本套例题围绕第 9 章「数制码制与逻辑代数」的核心考点展开，覆盖以下三大板块：

一、数制与码制：二/八/十六进制与十进制之间的相互转换、8421BCD 码与纯二进制的区别、分组方向与按权展开两种思路。
二、逻辑代数基本定律：交换律、结合律、分配律、0-1 律、互补律、吸收律、摩根定律，以及反演、对偶规则。
三、逻辑函数化简：代数法化简与卡诺图化简，目标都是求最简与或式。

本套题目的难度分三级，做题时请注意先识别题目类型再选择方法：

  • 基础：直接套用定理与公式即可求解（如数制转换、代数法化简）；
  • 进阶：综合本章多个知识点（真值表、卡诺图、定律联合运用）；
  • 拓展：开放思考，训练推演与验证能力（如反演规则、无关项用法）。

学习提示：数制转换属于「计算类」，重点在记清除 2 取余、按权展开、三位/四位分组三种手段；化简题属于「变换类」，重点在卡诺图圈法与代数定律的熟练。每道题做完后建议用真值表或按权展开反向复核一遍结果。

一、基础概念示例题

例题9-1 ｜ 难度：基础

【题目】把十进制数 29 分别转换为二进制、八进制、十六进制与 8421BCD 码，并说明 8421BCD 码与纯二进制编码的区别。

【解题步骤】

  1. 十进制整数转二进制采用「除 2 取余、倒序排列」，每次除法的余数按先后顺序记录如下：
被除数 除以 2 的商 余数
29 14 1
14 7 0
7 3 1
3 1 1
1 0 1
  1. 把余数从最后一次除法往前读（即由下向上倒序），得到二进制 11101。
  2. 二进制转八进制采用「三位一组」：整数 11101 从最低位起向左补位为 011 101，每组按权 4、2、1 读出 011=3、101=5，得 35。
  3. 二进制转十六进制采用「四位一组」：11101 补位为 0001 1101，0001=1、1101=D（十进制 13），得 1D。
  4. 十进制转 8421BCD 码采用「每位十进制数字独立编码」：2 → 0010，9 → 1001，按位顺序拼接得 0010 1001。

【答案解析】(29)₁₀ = (11101)₂ = (35)₈ = (1D)₁₆ = (0010 1001)BCD。复核：11101 按权展开 16+8+4+0+1=29，与原十进制数一致，说明转换正确。需要特别注意的是：8421BCD 只使用 0000~1001 这十种编码表示一位十进制数，(29)₁₀ 对应的 BCD 码是 0010 1001，而它的纯二进制是 11101，两者位数与内容都不相同，切勿把 BCD 码当成按权展开的纯二进制来混算。

【知识点链接】数制转换、8421BCD 码，详见《电子信息专升本 · 第9章 数制码制与逻辑代数》学习要点：https://su6660.github.io/2026/10/06/20261006-电子信息专升本-09-数制码制与逻辑代数/

例题9-2 ｜ 难度：基础

【题目】把二进制数 (110011.101)₂ 分别转换为八进制、十六进制与十进制，体会「分组方向」与「按权展开」两种思路的异同。

【解题步骤】

  1. 转八进制（三位一组）：整数部分从低位（小数点左侧）起向左分组 110 011 → 63；小数部分从小数点起向右分组 101 → 5，得 (63.5)₈。
  2. 转十六进制（四位一组）：整数部分向左补位分组为 0011 0011 → 33；小数部分向右补 0 为 1010 → A，得 (33.A)₁₆。
  3. 转十进制时整数部分按权展开：110011 = 1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0。
  4. 逐项求和得整数部分：32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51。
  5. 小数部分按权展开：0.101 = 1×2^-1 + 0×2^-2 + 1×2^-3 = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625。
  6. 整数与小数相加得到最终十进制结果 51.625。

【答案解析】(110011.101)₂ = (63.5)₈ = (33.A)₁₆ = (51.625)₁₀。复核：八进制 63.5 按权展开 6×8+3×1+5×(1/8)=48+3+0.625=51.625，与十进制结果一致，说明分组与展开没有出错。分组方向的规律务必记牢：整数部分从低位（小数点）起「自右向左」补位分组，小数部分从小数点起「自左向右」补位分组，不足位补 0。八进制每位对应 3 位二进制，十六进制每位对应 4 位二进制，这是分组的依据。

【知识点链接】二/八/十六进制与十进制互转，详见《电子信息专升本 · 第9章 数制码制与逻辑代数》学习要点：https://su6660.github.io/2026/10/06/20261006-电子信息专升本-09-数制码制与逻辑代数/

例题9-3 ｜ 难度：基础

【题目】用代数法化简逻辑函数 F = A·B + A’·B + A·B’，求最简与或式，并用真值表验证化简结果是否与原函数一致。

【解题步骤】

  1. 先观察前两项 A·B + A’·B，两者有公共因子 B，提取公因子：A·B + A’·B = B·(A + A’)。
  2. 由互补律 A + A’ = 1，上式化简为 B·1 = B，于是原式化为 F = B + A·B’。
  3. 对 F = B + A·B’ 应用分配律与互补律：F = (B + A)·(B + B’) = (B + A)·1 = A + B。
  4. 为验证结果，列出原函数在两输入所有组合下的取值，观察是否与 A + B 一致。

【答案解析】F = A + B。真值表验证（A、B 共 2^2=4 种组合）：

A B A·B A’·B A·B’ F
0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1

由表可见 F 仅在 A=0、B=0 时为 0，其余均为 1，这正是「或」运算 A + B 的特征，与代数法化简结果完全一致。技巧提示：化简时优先用「提取公因子 + 互补律」把含互补变量的项合并，这是代数法化简最常用的切入点。

【知识点链接】逻辑代数基本定律（互补律、分配律、吸收律），详见《电子信息专升本 · 第9章 数制码制与逻辑代数》学习要点：https://su6660.github.io/2026/10/06/20261006-电子信息专升本-09-数制码制与逻辑代数/

二、综合应用题

例题9-4 ｜ 难度：进阶

【题目】用卡诺图化简三变量函数 F(A,B,C) = Σm(0,1,2,3,6,7)，求最简与或式，并说明所圈的每个卡诺圈分别消去了哪些变量。

【解题步骤】

  1. 三变量卡诺图，行标为 A（取值 0、1），列标按格雷码顺序 BC 取 00、01、11、10，保证相邻小格之间只有一个变量发生变化。
  2. 在 m0、m1、m2、m3、m6、m7 对应的小格中填 1，其余（m4、m5）填 0。卡诺图布局如下（行 A，列 BC）：
1
2
3
A\BC  00  01  11  10
 0     1   1   1   1
 1     0   0   1   1
  1. 圈 1（坚持圈大、圈少、不遗漏，允许重叠）：
    • 圈一：第一行四个 1（m0、m1、m2、m3），对应 A=0 的整行，B、C 都发生变化被消去，只剩 A’；
    • 圈二：右侧两列（BC=11 与 BC=10）跨两行的四个 1（m2、m3、m6、m7），对应 B=1 的两列，A、C 都发生变化被消去，只剩 B。
  2. 把两个圈的乘积项相或：F = A’ + B。其中 m2、m3（第一行右侧两格）被两个圈同时圈入，重叠是允许的。

【答案解析】F = Σm(0,1,2,3,6,7) = A’ + B。验证：A’ + B 只在 A=1、B=0 时才为 0，恰好对应 m4、m5 两个未填 1 的最小项，与题目所给 1 的集合 (0,1,2,3,6,7) 完全互补，说明化简结果既自洽也已达到最简（共 2 项、每项变量数最少）。圈法要点：每个圈必须含 2^n 个小格且成矩形，圈越大消去的变量越多，结果越简。

【知识点链接】卡诺图化简、格雷码排列、最小项，详见《电子信息专升本 · 第9章 数制码制与逻辑代数》学习要点：https://su6660.github.io/2026/10/06/20261006-电子信息专升本-09-数制码制与逻辑代数/

例题9-5 ｜ 难度：进阶

【题目】用卡诺图化简四变量函数 F(A,B,C,D) = Σm(1,3,5,7,8,9,12,13)，求最简与或式。

【解题步骤】

  1. 四变量卡诺图，行标按格雷码 AB 取 00、01、11、10，列标按格雷码 CD 取 00、01、11、10；变量权值 A=8、B=4、C=2、D=1，便于把最小项编号还原成变量取值。
  2. 在 m1、m3、m5、m7、m8、m9、m12、m13 对应小格填 1，其余填 0。卡诺图布局如下：
1
2
3
4
5
AB\CD  00  01  11  10
 00     0   1   1   0
 01     0   1   1   0
 11     1   1   0   0
 10     1   1   0   0
  1. 圈 1：左上块四个 1（m1、m3、m5、m7）中 A 恒为 0、D 恒为 1，B、C 在圈内变化，得 A’·D；下侧块四个 1（m8、m9、m12、m13）中 A 恒为 1、C 恒为 0，B、D 在圈内变化，得 A·C’。
  2. 检查是否能合并出更大的圈：两块之间没有公共边界处的相邻 1，已无法合并，维持两个圈即可。
  3. 两圈乘积项相或：F = A’·D + A·C’。

【答案解析】F = A’·D + A·C’。验证：把 A’·D 与 A·C’ 分别展开，A’·D 覆盖 m1、m3、m5、m7 四个最小项，A·C’ 覆盖 m8、m9、m12、m13 四个最小项，两者相加恰好等于题目给的 8 个最小项、无重复也无遗漏，结果自洽。本题两个「4 格圈」既不共行也不共列，而是分别骑跨卡诺图的不同相邻区域。练习要点：先寻找成片相邻的 1（此处各是 2×2 方块），再按 2^n 个格规整圈出（此处 n=2、每组 4 格）。

【知识点链接】四变量卡诺图化简、逻辑相邻，详见《电子信息专升本 · 第9章 数制码制与逻辑代数》学习要点：https://su6660.github.io/2026/10/06/20261006-电子信息专升本-09-数制码制与逻辑代数/

三、拓展思考题

例题9-6 ｜ 难度：拓展

【题目】已知逻辑函数 F = A·B + C·D’，请按反演规则直接写出反函数 F’，并说明「反演规则」与「对偶规则」在处理变量时的区别。可尝试用摩根定律验证反演结果。

【思路提示】
反演规则：与变或、或变与，常量 0 变 1、1 变 0，且原变量变反变量、反变量变原变量（注意 D’ 取反后应变回 D）。对偶规则只交换「与、或」及常量 0/1，变量本身保持不变、不取反。两条规则都改变了运算结构，区别只在「是否对变量取反」。可先用摩根定律逐步展开来验证反演结果。

【参考答案要点】

  1. 反函数 F’ = (A’ + B’)·(C’ + D)。用摩根定律核对：(A·B + C·D’)’ = (A·B)’·(C·D’)’ = (A’ + B’)·(C’ + (D’)’) = (A’ + B’)·(C’ + D)，结果一致。
  2. 对偶式 F* = (A + B)·(C + D’)。
  3. 区别小结：求反函数是「取反运算」，必须对变量取反；求对偶式只是「结构变换」，变量不取反。例如本题中 F’ 里出现 A’、B’、C’，而 F* 里 A、B、C 都保持原变量。求反函数时可借助「先写对偶式、再对整个式子整体取反」的交叉方法检验自己有没有漏加反号，减小规则记忆出错。

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